Un sujet de devoir de terminale spécialité maths portant sur les fonctions et les probabilités. Le premier exercice porte sur une étude de fonction (dérivées, tangente, convexité, TVI, position relative) et le deuxième sur les probabilités (probabilités conditionnelles, loi binomiale, …).
Durée : 1h30 – Calculatrice autorisée
Exercice 1 : étude de fonction
\(\text{Soit la fonction } f \text{ définie sur } D_f \text{ par } f(x) = (-2x + 1) e^{\frac{1}{x}}. \\
\text{On note } \mathcal{C}_f \text{ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.} \\
\)
1/ Déterminer Df, l’ensemble de définition de la fonction f.
2/ Donner les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Quatre limites sont attendues. Interpréter graphiquement.
3/ Calculer la dérivée de la fonction f.
4/ Dresser le tableau de variations de la fonction f.
5/ Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution, qu’on note α. Donner un encadrement de α à 10-1 près.
6/ En déduire le signe de f sur Df.
7/ On a utilisé un programme pour calculer la dérivée de f’ :
En déduire la convexité de la fonction f.
8/ Donner l’équation de tangente à Cf au point d’abscisse 1.
9/ Quel est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d’abscisse 2 ?
\(\text{On définit maintenant la fonction } g \text{ sur } D_g = D_f \text{ par } g(x) = 4x e^{\frac{1}{x}}. \\ \text { On note } \mathcal{C}_g \text{ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.} \\
\)
10/ À l’aide de la calculatrice, conjecturer la position relative de Cf et Cg.
11/ Confirmer ou infirmer la conjecture précédente.
Exercice 2 : probabilités
Dans cet exercice les probabilités calculées seront arrondies à 10-3 près si nécessaire.
Un professeur de mathématiques réalise un devoir bilan avec ses élèves à la fin de chaque trimestre. Ce devoir est constitué de deux exercices. Avec l’expérience, il a pu établir qu’un élève qui a réussi l’exercice 1 a 70% de chance de réussir l’exercice 2 et sinon seulement 50% de chance.
De plus la probabilité de réussir l’exercice 2 est de 65%.
On note E1 l’évènement « L’élève a réussi l’exercice 1 » et E2 l’évènement « L’élève a réussi l’exercice 2 ».
1/ Construire un arbre pondéré traduisant la situation, en indiquant les probabilités connues.
2/ Calculer la probabilité de réussir l’exercice 1.
3/ Quelle est la probabilité de ne réussir aucun exercice ?
4/ Marc a réussi l’exercice 2. Quelle est la probabilité qu’il ait réussi l’exercice 1 ?
La classe de ce professeur compte 35 élèves. On admet que la probabilité pour un élève de réussir les deux exercices est de 0,525. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves ayant réussi les deux exercices. On admet que les réponses données par chaque élève sont indépendantes de celles des autres élèves…
1/ Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
2/ Quelle est la probabilité que moins de 15 élèves réussissent les deux exercices ?
3/ Le professeur donne maintenant ce devoir à un groupe restreint de n élèves. À partir de quelle valeur de n est-il certain à 99,9% qu’au moins un élève aura réussi les deux exercices ?
Le sujet en version PDF : devoir étude de fonctions probabilités terminale spé maths.
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