Manipulation d’expressions littérales : explications et exercices

Petit article en réponse à certaines demandes sur la manipulation d’expressions littérales. Comment modifier une expression littérale ? Cours et exercice d’application.

Manipulation d'expressions littérales

Manipulations d’expressions littérales : explications

 

A/ Vocabulaire

Une « expression littérale » signifie une expression avec des lettres. En physique-chimie, on donne toujours l’expression littérale avant l’application numérique.

Exemple :

Un cycliste parcourt une distance d = 20 km en un temps t = 1h. Quelle est sa vitesse, notée v, en km/h ?

Expression littérale : \(v = \frac{d}{t}\)

Application numérique : \(v = \frac{20}{1} = 20~ km/h\)

Les résultats doivent comporter une unité selon celles de l’énoncé.

 

B/ Manipulation d’expressions

On reprend pour cette partie dans un premier temps l’expression de la partie précédente :

\(v = \frac{d}{t}\)

 

B.1/ Isoler la distance dans la relation v = d/t

On souhaite dans un exercice obtenir la distance. Pour manipuler une expression littérale on recherche d’abord quelle variable (quelle lettre) doit-on isoler. Ici c’est d. On peut éventuellement réécrire la relation pour avoir d à gauche de l’égalité :

\(\frac{d}{t} = v\)

On regarde ensuite ce qui se trouve « en trop » par rapport à ce que l’on souhaite obtenir. Dans notre cas d est divisé par t. L’opération inverse de la division étant la multiplication, on va multiplier par t. Mais pour que l’égalité reste vraie les deux côtés sont multipliés par t :

t x \(\frac{d}{t}\) = v x t ⟺ d = v x t

 

B.2/ Isoler le temps dans la relation v = d/t

On va maintenant repartir de la première relation pour obtenir le temps :

\(v = \frac{d}{t}\)

Cette fois la variable à isoler se trouve au dénominateur, on va donc d’abord multiplier par t, afin de l’avoir au numérateur :

t x \(v = \frac{d}{t}\) x t

d’où t x v = d

puis on divise par v de chaque côté de l’égalité :    \(t = \frac{d}{v}\)

 

C/ Exemple concret (niveau 1ère – terminale)

Voici un exemple de manipulation d’expression littérale en physique-chimie, avec la relation :

\(\frac{1}{2}~m~v_{A}^{2}~+~m~g~h_{A}~=~\frac{1}{2}~m~v_{B}^{2}\)

m est la masse d’un solide ; vA la vitesse du solide au point A ; g une constante, hA la hauteur du corps au point A et vB la vitesse du solide au point B. On souhaite obtenir vA.

 

On peut d’abord « simplifier » par m car il apparait dans chaque « terme » de l’égalité. Ainsi si on divise par m, la relation est :

Manipuler des expressions littérales

En revanche on ne peut pas simplifier par 1/2 car il n’y a pas de 1/2 devant g hA.

Il y a ensuite plusieurs « éléments en trop » à gauche de l’égalité.

Il y a g hA ; le 1/2 et le carré. Pour isoler ce qui nous intéresse on doit procéder dans l’ordre inverse de priorité des opérations.

 

Rappel des priorités opératoires :

1) Parenthèses  2) Exposants  3) Multiplication / Division  4) Addition / Soustraction

 

En reprenant notre expression, l’opération la moins prioritaire est l’addition de g hA. On va donc soustraire g hA des 2 côtés de l’égalité :

\(\frac{1}{2}~v_{A}^{2}~+~g~h_{A}~-~g~h_{A}~=~\frac{1}{2}~v_{B}^{2}~-~g~h_{A}\)

et généralement on ne note pas cette étape mais directement :

\(\frac{1}{2}~v_{A}^{2}~=~\frac{1}{2}~v_{B}^{2}~-~g~h_{A}\)

 

L’opération la moins prioritaire à gauche est maintenant la multiplication par ½. Afin de l’enlever on va diviser par ½ (ce qui revient à multiplier par 2) :

\(2~\times \frac{1}{2}~v_{A}^{2}~=~2~\times ~(\frac{1}{2}~v_{B}^{2}~-~g~h_{A})\)

on pense aux parenthèses car tout le côté droit est multiplié par 2 (si vous avez peur de vous tromper il vaut mieux des parenthèses inutiles qu’en oublier…)

On arrive à :

\(v_{A}^{2}~=~2~\times ~(\frac{1}{2}~v_{B}^{2}~-~g~h_{A})~=~v_{B}^{2}~-~2~g~h_{A}~\Leftrightarrow~v_{A}^{2}~=~v_{B}^{2}~-~2~g~h_{A}\)

 

Il ne reste plus qu’à « éliminer » le carré, en passant à la racine carrée (on garde seulement la solution positive pour vA car celle-ci est positive) :

\(\sqrt{v_{A}^{2}}~=~\sqrt{v_{B}^{2}~-~2~g~h_{A}}~soit~\mathbf{v_{A}~=~\sqrt{v_{B}^{2}~-~2~g~h_{A}}}\)

 

La manipulation de l’expression littérale est terminée et nous avons réussi à isoler ce que nous voulions.

On peut noter que pour les expressions « simples » telle que \(v = \frac{d}{t}\) présentée en début d’article, et d’autres d’ailleurs, on peut réfléchir en termes d’unités également ou de produits en croix.

Mais la manipulation d’expressions littérales reste indispensable dans certains cas et doit être parfaitement maitrisée pour les maths, la physique-chimie au lycée et dans de nombreuses filières du supérieur.

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